The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__fact(X) → a__if(a__zero(mark(X)), s(0), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0, X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0, X) → 0
a__prod(s(X), Y) → a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__zero(0) → true
a__zero(s(X)) → false
a__p(s(X)) → mark(X)
mark(fact(X)) → a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) → a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) → a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) → a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
mark(true) → true
mark(false) → false
a__fact(X) → fact(X)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__zero(X) → zero(X)
a__prod(X1, X2) → prod(X1, X2)
a__p(X) → p(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
mark(fact(X)) →⁺ a__if(a__zero(mark(mark(X))), s(0), prod(mark(X), fact(p(mark(X)))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X / fact(X)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(fact(X)) →⁺ a__if(a__zero(mark(mark(X))), s(0), prod(mark(X), fact(p(mark(X)))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [2,0].
The pumping substitution is [X / fact(X)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__fact(X) → a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) → 0'
a__prod(s(X), Y) → a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__zero(0') → true
a__zero(s(X)) → false
a__p(s(X)) → mark(X)
mark(fact(X)) → a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) → a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) → a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) → a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(true) → true
mark(false) → false
a__fact(X) → fact(X)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__zero(X) → zero(X)
a__prod(X1, X2) → prod(X1, X2)
a__p(X) → p(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fact(X) → a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) → 0'
a__prod(s(X), Y) → a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__zero(0') → true
a__zero(s(X)) → false
a__p(s(X)) → mark(X)
mark(fact(X)) → a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) → a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) → a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) → a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(true) → true
mark(false) → false
a__fact(X) → fact(X)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__zero(X) → zero(X)
a__prod(X1, X2) → prod(X1, X2)
a__p(X) → p(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add1_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0 :: Nat → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__fact, a__if, mark, a__add, a__prod, a__p

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__prod = a__p

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fact(X) → a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) → 0'
a__prod(s(X), Y) → a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__zero(0') → true
a__zero(s(X)) → false
a__p(s(X)) → mark(X)
mark(fact(X)) → a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) → a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) → a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) → a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(true) → true
mark(false) → false
a__fact(X) → fact(X)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__zero(X) → zero(X)
a__prod(X1, X2) → prod(X1, X2)
a__p(X) → p(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add1_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0 :: Nat → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add

Generator Equations:
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__if, a__fact, mark, a__add, a__prod, a__p

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__prod = a__p

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__if.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fact(X) → a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) → 0'
a__prod(s(X), Y) → a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__zero(0') → true
a__zero(s(X)) → false
a__p(s(X)) → mark(X)
mark(fact(X)) → a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) → a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) → a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) → a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(true) → true
mark(false) → false
a__fact(X) → fact(X)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__zero(X) → zero(X)
a__prod(X1, X2) → prod(X1, X2)
a__p(X) → p(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add1_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0 :: Nat → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add

Generator Equations:
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__fact, a__add, a__prod, a__p

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__prod = a__p

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0)) → gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0), rt ∈ Ω(1 + n26₀)

Induction Base:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(n26_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0))) →_IH
s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(c27_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fact(X) → a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) → 0'
a__prod(s(X), Y) → a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__zero(0') → true
a__zero(s(X)) → false
a__p(s(X)) → mark(X)
mark(fact(X)) → a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) → a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) → a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) → a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(true) → true
mark(false) → false
a__fact(X) → fact(X)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__zero(X) → zero(X)
a__prod(X1, X2) → prod(X1, X2)
a__p(X) → p(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add1_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0 :: Nat → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add

Lemmas:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0)) → gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0), rt ∈ Ω(1 + n26₀)

Generator Equations:
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__fact, a__if, a__add, a__prod, a__p

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__prod = a__p

(14) RewriteLemmaProof (EQUIVALENT transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)) → *3_0, rt ∈ Ω(2ⁿ)

Induction Base:
a__fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(0))

Induction Step:
a__fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(n4188_0, 1))) →_R^Ω(1)
a__if(a__zero(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(n4188_0, 1)))), s(0'), prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(n4188_0, 1)), fact(p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(n4188_0, 1)))))) →_L^{Ω(2 + n4188₀)}
a__if(a__zero(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0))), s(0'), prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), fact(p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)))))) →_R^Ω(1)
a__if(false, s(0'), prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), fact(p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)))))) →_R^Ω(1)
mark(prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), fact(p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)))))) →_R^Ω(1)
a__prod(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0))), mark(fact(p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)))))) →_L^{Ω(2 + n4188₀)}
a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), mark(fact(p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)))))) →_R^Ω(1)
a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), a__fact(mark(p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)))))) →_R^Ω(1)
a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), a__fact(a__p(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)))))) →_L^{Ω(2 + n4188₀)}
a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), a__fact(a__p(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0))))) →_R^Ω(1)
a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), a__fact(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)))) →_L^{Ω(1 + n4188₀)}
a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), a__fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))) →_R^Ω(1)
a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(1, n4188_0)), fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))) →_R^Ω(1)
a__add(mark(fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))), a__prod(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)), mark(fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))))) →_R^Ω(1)
a__add(a__fact(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))), a__prod(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)), mark(fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))))) →_L^{Ω(1 + n4188₀)}
a__add(a__fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)), a__prod(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)), mark(fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))))) →_IH
a__add(*3_0, a__prod(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)), mark(fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))))) →_L^{Ω(1 + n4188₀)}
a__add(*3_0, a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0), mark(fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))))) →_R^Ω(1)
a__add(*3_0, a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0), a__fact(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0))))) →_L^{Ω(1 + n4188₀)}
a__add(*3_0, a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0), a__fact(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0)))) →_IH
a__add(*3_0, a__prod(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n4188_0), *3_0))

We have rt ∈ Ω(2ⁿ) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(2ⁿ)

(15) BOUNDS(2^n, INF)

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fact(X) → a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) → 0'
a__prod(s(X), Y) → a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__zero(0') → true
a__zero(s(X)) → false
a__p(s(X)) → mark(X)
mark(fact(X)) → a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) → a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) → a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) → a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(true) → true
mark(false) → false
a__fact(X) → fact(X)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__zero(X) → zero(X)
a__prod(X1, X2) → prod(X1, X2)
a__p(X) → p(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add1_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0 :: Nat → 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add

Lemmas:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0)) → gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0), rt ∈ Ω(1 + n26₀)

Generator Equations:
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0)) → gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add2_0(n26_0), rt ∈ Ω(1 + n26₀)

(18) BOUNDS(n^1, INF)